Top 8 công thức hệ thức viet hay nhất, đừng bỏ lỡ

Tất tần tật về Hệ thức Vi-et | Công thức Hệ thức Vi-et – Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

– Định lí Vi- ét:

+ Phương trình bậc hai có dạng ax2+bx+c=0 (a≠0) có hai nghiệm x1,x2 , khi đó ta có: x1+x2=−bax1.x2=ca

+ Cho hai số u và v có tổng u + v = S và có tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình: x2−Sx+P=0

II. Các công thức.

– Định lí Vi-ét:

+) ax2+bx+c=0 (a≠0) có Δ≥0 (Δ’≥0)⇒x1+x2=−bax1.x2=ca

+) u+v=Su.v=P

⇒x2−Sx+P=0⇔x=ux=v

– Dấu của nghiệm phương trình bậc hai:

+) Hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔Δ>0x1.x2>0

+) Hai nghiệm phân biệt dương ⇔Δ>0x1+x2>0x1.x2>0

+) Hai nghiệm phân biệt âm ⇔Δ>0x1+x2<0x1.x2>0

+) Hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔a.c<0

III. Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho phương trình x2+2mx+2m−1=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12+x22=6.

Lời giải:

Xét phương trình:x2+2mx+2m−1=0

Δ’=m2−1.(2m−1).=m2−2m+1=(m−1)2≥0∀m∈ℝ

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔m≠1

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

x1+x2=−2m1=−2mx1.x2=2m−11=2m−1

Ta có:

x12+x22=6⇔x12+2x1x2+x22−2x1x2=6⇔(x1+x2)2−2x1x2=6⇔(−2m)2−2.(2m−1)=6⇔4m2−4m+2=6⇔4m2−4m−4=0⇔m2−m−1=0

Xét phương trình m2−m−1=0 có Δ=(−1)2−4.1.(−1)=5 > 0

⇒ Phương trình m2−m−1=0 có hai nghiệm phân biệt

m1=−(−1)+52.1=1+52 (t/m)

m2=−(−1)−52.1=1−52 (t/m)

Vậy với m=1+52 hoặc m=1−52 thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12+x22=6.

Bài 2: Cho phương trình x2+4x+2=0. Tìm giá trị biểu thức 1×1+1×2 mà không cần phải tìm nghiệm của phương trình với x1; x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

Xét phương trình x2+4x+2=0

Δ’=22−1.2=2>0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1+x2=−41=−4×1.x2=21=2

Ta có:

1×1+1×2=x2+x1x1.x2=−42=−2

Vậy 1×1+1×2=−2.

Bài 3: Tìm m thỏa mãn các điều kiện sau:

a) x2+4x−2m=0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) x2+mx−m−1=0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

c) x2+mx−m−1=0 có hai nghiệm phân biệt dương.

d) 2×2+3mx−2=0 có hai nghiệm phân biệt âm.

Lời giải:

a)

Xét phương trình x2+4x−2m=0

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì 1.(−2m)<0⇔m>0

Vậy m > 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b)

Xét phương trình x2+mx−m−1=0

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Δ=m2−4.1.(−m−1)=m2+4m+4=(m+2)2>0⇔m≠−2 (1)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

x1.x2=−m−11=−m−1

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:

⇒−m−1>0⇔m<−1 (2)

Kết hợp hai điều kiện (1), (2) ta có m < -1 và m≠−2 thì phương trình x2+mx−m−1=0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

c)

Xét phương trình x2+mx−m−1=0

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Δ=m2−4.1.(−m−1)=m2+4m+4=(m+2)2>0⇔m≠−2 (1)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

x1+x2=−m1=−mx1.x2=−m−11=−m−1

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương:

⇒−m>0−m−1>0⇔m<0m<−1⇔m<−1 (2)

Kết hợp hai điều kiện (1), (2) ta có m < -1 và m≠−2 thì phương trình x2+mx−m−1=0 có hai nghiệm phân biệt dương.

d)

Xét phương trình 2×2+3mx−2=0

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Δ=(3m)2−4.2.(−2)=9m2+16>0∀m∈ℝ

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

x1+x2=−3m2x1.x2=−22=−1

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm:

⇒−3m2<0−1>0 (vô lý vì – 1 < 0)

Vậy phương trình không thể có hai nghiệm phân biệt âm.

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho phương trình 4×2−4mx−2m=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 2: Cho phương trình x2−2(m+1)x+3m=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1=2×2.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất

Công thức giải phương trình bậc hai đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết

Công thức giải phương trình chứa dấu căn chi tiết

Công thức giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn chi tiết

Top 8 công thức hệ thức viet tổng hợp bởi Files32.com