Top 6 công thức cấp số nhân lùi vô hạn hay nhất hiện nay

Như thế nào là dãy cấp số nhân lùi vô hạn? Cách tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn là gì? Nó có giống với công thức tính tổng của một cấp số nhân mà ta đã được học trong bài trước không? Trong bài viết dưới đây, chúng ta cùng làm rõ các vấn đề trên nhé.

1. Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Một cấp sô nhân có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta có: S = v1 + v1.q + v1.q2 + v1.q3 + … = , với |q| < 1.

Ví dụ minh hoạ: Cho dãy số (vn) như sau: -49; -7; -1; ; ; … Dãy số (vn) trên có phải là dãy cấp số nhân lùi vô hạn không? Tại sao?

Giải

Ta có: -7 = -49. ; -1 = -7.; = -1.; = .;

Từ định nghĩa của cấp số nhân, ta suy ra dãy số (vn) là một cấp số nhân với số hạng đầu là v1 = -49 và công bội q = mà |q| = || < 1. Từ đó suy ra dãy số (vn) trên là một cấp số nhân lùi vô hạn.

2. Bài tập tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Câu 1: Cho số b = 3,13131313… (chu kỳ 13) là số thập phân vô hạn tuần hoàn, số b được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản b = , trong đó x, y là các số nguyên dương. Tìm tổng x + y.

A. x + y = 409

B. x + y = 490

C. x + y = 211

D. x + y = 130

ĐÁP ÁN

Cách 1: Ta có b = 3,13131313… = 3 + + + + +… là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu v1 = và công bội q = nên ta áp dụng công thức tính cấp số nhân lùi vô hạn.

b = 3 + =

⇒ x = 310; y = 99

Vậy x + y = 310 + 99 = 409.

Cách 2: Đặt d = 0,13131313… ⇒ 100d = 13 + d

⇔ d =

⇒ b = 3 + d = 3 + =

⇒ x = 310; y = 99

Vậy x + y = 310 + 99 = 409

Cách 3: Sử dụng MTCT. Ta nhập số 3,13131313 vào máy (Nhiều bộ số 13, cho tràn màn hình) rồi bấm phím .

Ta thu được kết quả trên máy tính 3,(13) =

⇒ x = 310; y = 99

Vậy x + y = 310 + 99 = 409

Cách 4: Sử dụng MTCT. Ta nhập → → → → → → .

Ta thu được kết quả trên máy tính 3,(13) =

⇒ x = 310; y = 99

Vậy x + y = 310 + 99 = 409

Chọn đáp án A.

Câu 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu v1 = và công bội q = ?

A. S =

B. S =

C. S = 4

D. S = -3

ĐÁP ÁN

Hướng dẫn giải: Ta áp dụng công thức tính tổng số hạng lùi vô hạn: S = , với số hạng đầu v1 = và công bội q =

Giải

S = = =

Chọn đáp án B.

Câu 3: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (vn) có v1 = 20, S = 100. Tìm 6 số hạng đầu tiên của dãy (vn):

A. 20; 16,25; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5536

B. 20; 16; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5

C. 20; 16; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5536

D.20; 16; 12,8; 10,25; 8,192; 6,5536

ĐÁP ÁN

Hướng dẫn giải: Ta áp dụng công thức tính tổng số hạng lùi vô hạn: S = , với số hạng đầu v1 = 20 và tổng S = 100 ⇒ công bội q. Từ đó ta viết được 6 số hạng đầu của cấp số trên.

Giải

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = ⇔ 100 = ⇒ q =

Từ đó suy ra 6 số hạng đầu tiên của dãy số (vn): 20; 16; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5536.

Chọn đáp án C.

Câu 4: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 3, tổng của 3 số hạng đầu tiên của nó là . Số hạng đầu của cấp số nhân đó là?

A. v1 =

B. v1 =

C. v1 =

D. v1 =

ĐÁP ÁN

Hướng dẫn giải: Ta áp dụng hai công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = và công thức tính tổng của cấp số nhân ở bài trước Sn = v1. ⇒ công bội q và số hạng đầu của cấp số.

Giải

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 3 suy ra = 3 (1)

Tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là suy ra S3 = v1. = . (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

⇔

⇔

⇔

Vậy số hạng đầu của cấp số nhân là v1 =

Chọn đáp án D.

Câu 5: Tính tổng S = 16 + 4 + 1 + … + + …

A. S =

B. S =

C. S =

D. S =

ĐÁP ÁN

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Ta kiểm tra xem tổng trên có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không?

+ Bước 2: Áp dụng công thức phù hợp để tính tổng.

Giải

Ta có vn+1 = ; vn = ⇒ q = = = ⇒ q =

mà |q| = | | < 1 nên tổng trên là cấp số nhân lùi vô hạn.

Từ đó, S = = =

Chọn đáp án A.

Câu 6: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (vn) với số hạng đầu v1 = -1 và công bội q = x2. Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn trên và bốn số hạng đầu.

A. S = và bốn số hạng đầu -1; x2; -x4; x6

B. S = và bốn số hạng đầu -1; -x2; -x4; -x6

C. S = và bốn số hạng đầu -1; x2; x4; x6

D. S = và bốn số hạng đầu -1; -x2; -x4; -x6

ĐÁP ÁN

Ta áp dụng công thức S = =

Từ đó bốn số hạng đầu của dãy là -1; -x2; -x4; -x6.

Chọn đáp án B.

Câu 7: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (vn) với số hạng đầu v1 = 2 và công bội q = x3. Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn trên và bốn số hạng đầu.

A. S = và bốn số hạng đầu 2; -2×3; 2×6; -2×9

B. S = và bốn số hạng đầu 2; 2×3; 2×6; 2×9

C. S = và bốn số hạng đầu 2; 2×3; 2×6; 2×9

D. S = và bốn số hạng đầu 2; 2×3; 2×6; 2×9

ĐÁP ÁN

Ta áp dụng công thức S = =

Từ đó bốn số hạng đầu của dãy là 2; 2×3; 2×6; 2×9.

Chọn đáp án C.

Trên đây là toàn bộ các kiến thức gồm công thức tính cấp số nhân lùi vô hạn, các dạng toán đa dạng và có đáp án giải chi tiết dễ hiểu. Đây là một trong những kiến thức dễ nắm bắt, VOH Giáo Dục hy vọng các bạn sẽ hiểu bài và áp dụng làm các bài tập tương tự một cách thuần thục và nhanh chóng.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Top 6 công thức cấp số nhân lùi vô hạn tổng hợp bởi Files32.com